Thursday

Linee trasversali a due linee e tangenti a un quadrante

Frank Sottile e Thorsten Theobald.

L'immagine sotto mostra l'inviluppo di linee (in blu-verde chiaro) che sono perpendicolari alla linea rossa (e quindi trasversali alla linea y-z all'infinito) e anche tangenti alla sfera d'oro a destra. La curva della tangenza è disegnata in blu.

Siamo interessati ad altre quadriche (zero dei polinomi quadratici) che sono anche tangenti a ciascuna linea in questa busta. Ad esempio, l'ellissoide corallino a sinistra è tangente a ogni linea nella busta. In realtà, questi due ellissoidi si incastrano in una famiglia di ellissoidi, ognuno dei quali è tangente a ogni linea in questa famiglia. Mentre i membri di questa famiglia si avvicinano alla linea rossa, diventano sempre più a forma di sigaro, finendo collassando nella linea. (Un fenomeno simile si verifica all'infinito.)


Ci si potrebbe chiedere quali altre quadriche (se ce ne sono) ci siano oltre a quelle di questa famiglia che sono tangenti a ogni linea in questa busta. Abbiamo usato l'algebra del computer per indagare su questo, e abbiamo scoperto che il luogo delle quadriche tangenti a questo involucro è 1-dimensionale, e consiste di 12 componenti, ciascuna una curva razionale liscia. Di questi 12, 8 consistono in coniche immaginarie, mentre 4 famiglie consistono in quadriche reali.

Ogni schizzo in miniatura qui sotto illustra un quadrante in ogni famiglia, insieme a una di queste quadriche originali, come riferimento. Sono tutti collegati a immagini più grandi. La foglia d'acero sotto ogni immagine si collega al codice Maple utilizzato per disegnarli.







Immagini create mentre il Sottile e Theobald stavano visitando DIMACS.
Questo materiale si basa sul lavoro sostenuto dalla National Science Foundation sotto Grant No. 0070494.
Modificato da ultimo il 16 marzo 2001 da Frank Sottile


Fonte: http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/2l2s/index.html

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